一つの地区の住民の数をN（当然全員が未感染者である）とする。
一人の感染者が発生し他の未感染者にウィルスを移す日を0とする。
その移された感染者がまた同様にその他の未感染者にウィルスを
感染させるとする。
t日後のウィルス感染者数をY(t)とし、短い日数Δｔの間に感染した
者の増加数ΔYが、その時までに既に感染していた者の数
Y(t)(1-b)と未感染者数 N-Y(t)とに比例するとする。
ここでbは、感染者の治癒、あるいは死亡による減少割合である。
この時、ある比例定数a(次元は(1/人日)＾(註1)を用いて
ΔY=aY(t)(1-b){N-Y(t)}Δｔが成り立つ。
そこでΔｔ→0とすると、Y(t)は微分方程式

dY(t)/ｄｔ=aY(t)(1-b){N-Y(t)}＾(註2)が得られる。
これを解く。

dY(t)/[Y(t){N-Y(t)}]=a(1-b)dt
1/[Y(t){N-Y(t)}]を部分分数に展開すると
(1/N)[{1/Y(t)}+1/{N-Y(t)}]

これを代入すると 
dY(t)/{Y(t)}+dY(t)/{N-Y(t)}=a(1-b)Ndt
d[ln{Y(t)}]-d[ln{N-Y(t)}]=a(1-b)Ndt
ln[{Y(t)/{N-Y(t)}]=a(1-b)Nt+C        ①

t=0の時Y(t)=1であるので
C=ln{1/(N-1)}=-ln(N-1)
これを①に代入し、
ln[{Y(t)}/{N-Y(t)}]=a(1-b)Nt-ln(N-1)
=ln[exp{a(1-b)Nt)}/(N-1)]

∴{Y(t)}/{N-Y(t)}=exp{a(1-b)Nt)}/(N-1)
逆数は
{N/Y(t)}=(N-1)exp{-a(1-b)Nt)}+1
もう一度逆数を求めると
Y(t)=N/[(N-1)exp{-a(1-b)Nt)}+1]

t=0の時は間違いなくY(0)=1となっており
ｔ→∞の時は、Y(t)→Nとなり、題意を満足している。

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<註1>aは一人の感染者が一日に未感染者を感染
させる割合、例えば100人の地区で感染者一人が
１日に未感染者一人を感染させるなら1％、つまり
0.01/100(1/日)という値、N人の地区ならこの値は
0.01/N(1/日)となる。
従って、指数函数の指数のa(1-b)Nを改めてAと置くと
Y(t)=N/[(N-1)exp(-At)+1]
として Y(t)を求めることができる。

<註2>時間(実際は日数である）がｔをｎ等分し
ｄY(Δt)/dt ＝aY(0)(1-b){N-Y(Δt)}
ｄY(2Δt)/dt＝aY(Δt)(1-b){N-Y(2Δt)}
ｄY(3Δt)/dt＝aY(2Δt)(1-b){N-Y(3Δt)}
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ｄY(nΔt)/dt＝aY{(n-1)Δt}(1-b){N-Y(nΔt)}
とすると
左辺を足し合わせ dtを掛けると積分になり
[Σ(i=0-n)dY(iΔt)/dt]dt=Y(t)
右辺も同様に足し合わせdtを掛けると
[Σ(i=0-n)aY(iΔt)(1-b)・N-Σ(i=0-n)aY{(i-1)Δt}(1-b)・Y(iΔt)]dt
=a[Y(t)・N](1-b)dt -[Σ(i=0～n)aY{(i-1)Δt}・Y(iΔt)](1-b)dt

ここで、Δtを限りなく0に近づければ、
aY{(i-1)Δt}≒aY(iΔt) と置いて、
ｄY(t)/dt=aY(t-Δt)(1-b){N-Y(t)}　を得る。
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因みに、N=10万人、A=0.1(1/日)と 0.2(1/日)
の場合、1年後の感染者数をグラフで示すと
図の様になる。